Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 9.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 
Da L-Stetigkeit über  [ a | b ]  bedeutet, dass alle Sekantensteigungen über  [ a | b ]  zwischen  -L  und  +L  liegen, lässt sie sich sich durch einen sehr instruktiven Einschließungssatz veranschaulichen.

Bild 1		Bild 2

f  ist L-stetig in  [ a | b ]

Bild 1

Durch jeden Punkt  P0 ( x0 | f (x0) )   ( x0  [ a | b ]  ) gibt es einen linearen Sektor, welcher die Kurve von  f  über  [ a | b ]  verdeckt.

Man siehe zum Vergleich zurück nach 7.1 Satz 1 und vergleiche die Bilder 1 und 2 .

Bild 2 illustriert den Satz 1

	Satz 1	Wenn  f  in  [ a | b ]  L-differenzierbar, so auch L-stetig

Denn wenn eine Funktionskurve durch einen quadratischen Sektor verdeckbar ist, so auch durch einen linearen,
Später wird ein algebraischer Beweis nachgeholt (siehe 10. Satz 2 ).

Die L-Stetigkeit erfüllt Linearitätseigenschaften

	Satz 2	f  und  g  seien L-stetig in  [ a | b ]  und  c . Dann sind die Funktionen  c · f  und  f + g  ebenfalls L-stetig in  [ a | b ]

Beweis als Aufgabe 1 .

Die Aussage   H   (globale L-Stetigkeit) soll nun für L-stetige Funktionen bewiesen werden.

Figur 1		Figur 2

Vorbemerkung:

	Die Funktion  f  sei L-stetig über  [ a | b ] . Es sei an dieser Stelle anschaulich plausibel vorausgestzt, dass es eine Funktion  I  gibt, welche jedem  x  [ a | b ]  die Maßzahl der Fläche ( + oder - !) zwischen der Kurve von  f  und der x-Achse über dem Intervall  [ a | x ]  zuordnet, in Zeichen
		x    I (x)  =		( Fig. 1)

Es wird nun formuliert
 

	Satz 3	Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
		Wenn  f  über  [ a | b ]  L-stetig ist, dann ist
		I ' = (		) ' = f  .

Beweis:     Figur 2 verdeutlicht die Gleichung

(1)	I (x) = I (x0) + f (x0) · ( x - x0 ) + R (x)
	| R (x) |  ist beschränkt durch die Hälfte des Dreiecks  P0 R R ' , also
(2)	| R (x) |   ½ L ( x - x0 ) ²
	Aus (1) und (2) folgt die Behauptung      I ' = f  .

Es empfiehlt sich sehr, die Definition der L-Differenzierbarkeit zu wiederholen (im Abschnitt 5.2 Der Grundgedanke der linearen Approximation).

Anmerkung:

Statt

schreibt man sehr häufig

(t) dt   .

Diese Bezeichnung geht zurück auf den Mathematiker und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Sie wird plausibel, wenn man daran denkt, dass Integrale von Treppenfunktionen durch Addition von Termen der Form  f (t) ·  t  berechnet werden. Im allgemeinen Fall ist an dieses Verfahren ein Grenzprozess anzuschließen, symolisch ausgedrückt durch die Übergänge

					und	t   dt   .
	Im Term				(t) dt   spielen die Variablen		x  und  t  logisch gesehen ganz unterschiedliche Rollen:

Für  x  darf man jede Zahl aus  [ a | b ]  einsetzen,  x  ist deshalb eine freie Variable.  t  ist dagegen eine gebundene Variable. Für  t  können keine reellen Zahlen eingesetzt werden. Sinnlos sind Terme wie:

f (2) d2

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