netSCHOOL Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript
Differential- und Integralrechnung
für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde
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 14.1 Integralfunktion zu  x 1/x

 
14.2 Die Umkehrfunktion von  L 

Die Umkehrfunktion von  L  heiße  E  (von Exponentialfunktion). Mit  L  ist auch  E  über   streng monoton steigend, L-stetig und differenzierbar mit der Ableitung
  E ' (y) =       1    
L ' (x)
 =    1  
1/x
  =  E (y)   ,     d.h. in
  ( 6 )   E '   =   E  
 
[Beachte:  L (x) = y  über +  ist äquivalent  x = E (y)  in ].

E  ist also eine Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. E  ist beliebig oft differenzierbar und kann analog wie z.B. die sin-Funktion in eine unendliche Reihe entwickelt werden.

Wegen  E (0) = 1  (denn  L (1) = 0 ) und weil  E  streng monoton steigt, folgt für positives  b  aus
           1   E (x)   E (b) 
durch wiederholte Anwendung des Schrankensatzes oder Integration über  [ 0 | x ]  für  x   b 
  ( 7 )   1 + x +   + . . . +  xn     E (x)   1 + x +   + . . . +  xn-1  + E (b) ·  xn     ,
2 ! n ! 2 ! (n - 1) ! n !
wobei der Fehler  ( E (b) -1 ) · bn / n!  für beliebig große  n  beliebig klein wird, wie bei der Reihenentwicklung der sin-Funktion gezeigt. Also
          E (x)  =  1 + x +   + . . . +  xn  + . . .
2 ! n !
Setzt man in  ( 7 )  speziell  x = b = 1  und  n = 2 ,
erhält man
              2,5      E (1)      4  
und für  n = 3
  2
3
     E (1)      3  .         (Überprüfe dies!)

E (1)  ist die Basis von  L . Man schreibt
    E (1) = e  , und
    E (x) = e x = exp x  heißt Exponentialfunktion.

Man schreibt nun auch
    L (x) = ln x         ( = Logarithmus naturalis von  x )

Genaue Berechnung von  e  (Einzelheiten bitte ergänzen)
            e = 2  + 0,5           Aufgabe:
Bergründe die Rechnung
und schätze den Fehler ab
  + 0,1666666667
+ 0,0416666667
+ 0,0083333333
+ 0,0013888889
+ 0,0001984127
+ 0,0000248016
+ 0,0000027557
+ 0,0000002756
+ 0,0000000251
+ 0,0000000021
+ 0,0000000002
e =   2,7182818286

Aufgaben zu 14.

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