netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
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Aufgaben 1 bis 15 zu
14. Exponential- und Logarithmusfunktionen

  1. Skizziere die Graphen von
    a.   y = ln x         b.   y = ln (- x)         c.   y = ln | x |
    d.   y = ex e.   y = e-x f.   y = e-2x
    g.   y = e-x2 h.   y = e½x i.   y = e-½x

  2. Zeige:  ln (- x)  ist Stammfunktion von  x 1/x  für  x < 0  .
    Daraus folgt             1
    x
     dx  =  ln | x | + C           x 0

  3. Beweise
    1. y = ln x   ist überall rechstgekrümmt
    2. ln x    x - 1   über +

  4. Begründe den Ansatz
    ln ( 1 + h )  =  ln 1 + ln' (1) · h + R (h)   mit | R (h) | K h²   für eine positive Zahl  K  .
    Für  h =  1
    n
       erhält man  
     | ln ( 1 +  1
    n
     ) -  1
    n
     | K ·  1
          oder (warum?)
     | ln ( 1 +  1
    n
     )n 1  |     K
    n
      .       ( n )
    Bergründe hieraus
    ln ( 1 +  1
    n
     )n  =  1       und       ( 1 +  1
    n
     )n  =  e   .     (vgl. auch 5.)

  5. Beweise: Gilt für die Glieder einer Folge  ( an
    | an - a |      K
     n
        für alle  n   und ein positives  K
    und ist  f  eine L-stetige Funktion, so gilt auch
    | f(an) - f(a) |      K
     n
        ( an, a Definitionsbereich von  f )

  6. Analog zu 5. gilt
    | an - a |      K · qn         | f(an) - f(a) |      K · qn
    Formuliere vollständig und beweise.

  7. Es sind die Funktionalgleichungen der E-Funktion herzuleiten:
    E (x + u) = E (x) · E (u)         und         E (s · x) = [ E (x) ]s     ( s )

  8. Zeige
      e -x  =  1 - x +  x2  -  x3  +  x4  - . . . + . . . =   ( - 1 ) k ·  xk
     
      2! 3! 4! k!
      n = 0

  9. Berechne auf 6 Stellen genau aus der Reihenentwicklung und vergleiche mit dem Taschenrechner:
    a.   e2         b.   e3         c.   e0,5         d.   e-1         e.   e-3        
    (Die Nummern d. und e. auf zwei Arten).

  10. Vergleichen Sie die Graphen von
    y = ex  ;     y = 1 + x  ;     y = 1 + x + x²/2  ;   und   y = 1 + x + x²/2 + x³/6  .

  11. Weil  y = ex  auf stetig und streng monoton steigend ist, kann für jede positive Zahl  a 
                    a = e ln a
    geschrieben werden und man definiert
      a x = e x · ln a   .
    Bestätige die folgende Ableitungsregel und Integralformel
       ( a x ) ' = a x · ln                  a x dx =  a x   + C 
    ln a

  12. Die Umkehrfunktion zu  x a x   ( a > 0 )  heißt y loga y           (Logarithmus zur Basis a ).
    Bestätige      ( loga x ) ' =  1    .
    x · ln a

  13. Leite ab:
    a.     y = 2 · ex             b.     y =  3 · e2 x             c.     y =  e-0,5 x
    d.     y = 10 · e-x²   e.     y =  e   f.     y =  n0 ·
    g.     y = x · ex   h.     y =  1   i.     y =   1
    ex e
    k.     y = ex · cos x   l.     y =  esin x   m.     y =  ( 2 x² + 3 x + 1 ) · ex

  14. Leite ab:     [ lg = log10 ] ; beachte Definitionsbereich!
    a.     y = log2 3 x             b.     y = lg x             c.     y = x ·  ln x
    d.     y = ln ( 2 + sin x )   e.     y = ln ( 3 x² )   f.     y = ln  ( 3 - x )
    g.     y =   h.     y = ln   i.     y = ln 

  15. Leite ab über dem maximalen Definitionsbereich:
    a.     y = x · ln             b.     y =  ln cos² x             c.     y =    1
    ln x
    d. y = ln² x   e. y =  ln x   f. y =    x
      x ln² x
    g. y = 2x   h. y =  10x   i. y =    1
    41 - x
    i. y = ( ½ ) 4x   k. y =  2 3 - x   l. y =  10 m x + n

 

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