netSCHOOL Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript
Differential- und Integralrechnung
für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde
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 13. Winkelfunktionen

 
13.7 Lineare Approximation der sin-Funktion

Vorübung: Vergleiche die Werte von  cos x  und  1  bzw.  sin x  und  x  für  | x | < 0,1  .

Wegen
  ( 1 )   sin ( x + h )  =  sin x · cos h  +  cos x · sin h
  und  sin h h   und  cos h 1      für kleine | h |
kan man
  ( 2 )     lx (h) = sin x + h · cos x
als lineare Approximation der sin-Funktion bei  x  mit der Ableitung
           sin ' x = cos
vermuten.
Beweis: Wenn man von ( 1 ) den rechten Term von ( 2 ) subtrahiert, folgt
  | R (h) | = | sin ( x + h ) - lx (h) | = | sin x ( cos h - 1 ) + cos x ( sin h - h ) |
  | sin x | · | cos h - 1 | + | cos x | · | sin h - h |                 [ | sin x | 1  ;   | cos x | 1 ]
( 3 ) | cos h - 1 | + | sin h - h |  .

Aus der Figur links liest man ab, da "Sehne < Bogen" :
( sin h )² + ( 1 - cos h )²    h² ,   d.h.
 ( 4 )   1 - cos h    ½ h²

Weiter hat das Dreieck 01L den Inhalt ½ sin h , der Sektor 01L den Inhalt ½ h und der Kreisabschnitt 1L1 (dunkler grau) ist der Fläche nach kleiner als das Dreieck LM1 . Daraus folgt für  | h | < ½
 ( 5 )   | sin h - h |      | sin h |  · | 1 - cos h |      | 1 - cos h |     ½ h²
  2x Inhalt des
Kreisabschnitts
  2x Inhalt des
Dreiecks LM1
 
beachte auch | sin h | 1

Wegen ( 4 ) und ( 5 ) folgt aus ( 3 )
      | sin ( x + h ) - lx (h) |  =  | R (h) |   ½ h² + ½ h²   1 · h²  .
 

13.8 Die Ableitung weiterer Winkelfunktionen und ihrer Umkehrung

Wegen           cos x = sin ( x + ½ )
folgt nach der Kettenregel
 
   cos ' x  =    cos ( x + ½ ) =    - sin     (Kontrolle: Einheitskreis)
 
Mit Hilfe der Quotientenregel erhalten Sie über dem Definitionsbereich
 
 tan ' x  =   1           und            cot ' x  =  -  1
cos² x sin² x

Die Winkelfunktionen sind nur abschnittsweise umkehrbar und haben beliebig viele Umkehrfunktionen, von denen man nach Vereinbarung eine auswählt. Sie sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

Funktion f Definitions-
breich f
Umkehrfkt. Definitions-
breich
'
sin  [ - ½ | ½ arcsin [ - 1 | 1 ]   x  ;   | x | 1
cos [ 0 | ] arccos [ - 1 | 1 ]   x -  ;   | x | 1
tan  ] - ½ | ½ arctan  ] - | +   x 1  
1 + x²
cot ] 0 | [ arccot   x - 1  
1 + x²

Beweise der Ableitungsregeln:

  1. sin x = y    x = arcsin y       für  x [ - ½ | ½ ] ,  y [ - 1 | 1 ]
       
    cos x =   ( cos x  ist in  [ - ½ | ½ ]  nicht negativ).
    Also     arcsin ' y  =   1   =   1   =   1     oder wenn die Variable  x  heißt:
    sin ' x cos x
      arcsin ' x  =   x ] - 1 | + 1 [

  2. Analog folgt die Ableitung von arccos
    y = cos x    x = arccos y        x [ 0 |
       
    sin x =
    Also gilt   arccos ' y  =   1   =   -  1         in  ] -1 | + 1 [
     - sin x

  3. y = tan x    x = arctan y
    arctan ' y  =   1   =   1   =  cos² x  =   1   ,     denn cos² x  =   1
    tan ' x 1 1 + y² 1 + tan²
       
    cos² x

    (Zur Begründung dividiere sin² x + cos² x = 1   durch   cos² x .)

  4. Beweise als Aufgabe 16 :
                arccot ' y  =  -  1
    1 + y²

 

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