netSCHOOL Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript
 Differential- und Integralrechnung
 für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde		    zurück zum INHALT
 12. Verkettung von Funktionen - Ableitungsregeln

 
Bei den rationalen Verknüpfungen vererbt sich die Eigenschaft der Stetigkeit von den verknüpften Funktionen auf die Verknüpfung. Bleibt dies bei der Verkettung gültig? Man überlege sich dies an Hand der grafischen Darstellung. Kann man lineare Sektoren verketten? Weitere Hinweise findet man im Aufgabenteil.

Dieselbe Frage ist auch bezüglich derDifferenzierbarkeit sinnvoll. Was ergibt z.B. die Verkettung zweier Geraden (lineare Funktionen)?
Sei  g (x) = m1 x + b1  und  f (x) = m2 x + b2  . Dann ist
 f g (x) = m2 ( m1 x + b1 ) + b2  = m1 m2 x + m2 b1 + b2  .
Man bilde analog  g f (x)  .
Es ergibt sich:     Bei Verkettung multiplizieren sich die Steigungen der Geraden.

Es ist zu vermuten, dass dieses einfache Gesetz allgemeiner gilt. Es liegt nahe, die Approximationen zu verketten, um die lineare Approximation der Verkettung zu erhalten. Es wird genauer formuliert:
     Ketten-
regel		 Es sei  g  auf  [ a | b ]   L-differenzierbar und  f  mindestens auf  g [ a | b ]   L-differenzierbar.
Dann gilt
 ( f g ) '  =  f ' g  ·  g '   .

Beweis:
             x         g          g (x)  =  z          f          f (z)  =  f ( g (x) ) 
       x0    g (x0) = z0     f (z0) = f ( g (x0) ) 
 
Nach Voraussetzung ist für beliebige  x ,  x0   [ a | b ]  und beliebiger  z ,  z0   Df 
(1) g (x) = g (x0) + g ' (x0) · ( x - x0 ) + Rg (x, x0)   mit   | Rg | | Kg | · | x - x0 |²
(2) f (z)  = f (z0)  +  f ' (z0) · ( z - z0 )  + Rf (z, z0)    mit    | Rf | | Kf | · | z - z0 |²
      Aus  (2)  erhält man dann  
f ( g (x) ) = 
 =  f ( g (x0) ) + f ' ( g (x0) ) · [ g ' (x0) · ( x - x0 ) + Rg ] + Rf
 =  f ( g (x0) )  +   f ' ( g (x0) ) · g ' (x0)  · ( x - x0 )  +   [ f ' ( g (x0) ) · Rg (x, x0) + Rf (z, z0) ]
  Ableitung der
Verkettung bei x0		   R f o g = Rest der Verkettung
mit  | R f o g |   [ S f ' · Kg + Kf · L²g ] · ( x - x0 )²  .
Dabei ist  S f '  obere Schranke von  | f ' | .    f '  ist ja stetig und daher beschränkt.
Ferner ist  g  differenzierbar und daher L-stetig, also
  | g (x) - g (x0) | = | z - z0 | Lg | x - x0 |    für ein Lg > 0  .

Im Beweis wird das Quadrat dieser Zeile benötigt.
Man verdeutliche sich die Bezeichnungen auch am Maschinenbild oben.

Die Kettenregel kann man natürlich auch so schreiben:
 f ( g (x) ) '  =  f ' ( g (x) )  ·  g ' (x)       Kettenregel 

Gelegentlich bezeichnet man  g  als innere und  f  als äußere Funktion. Einprägsam, aber nicht ganz genau, ist folgende Form:
Ableitung der verketteten Funktion  =  Ableitung der inneren Funktion  ·  Ableitung der äußeren Funktion

Die Kettenregel ist ein starkes Instrument. Es werden einige Folgerungen gezeigt. Vervollständigen Sie die Beweise aber selbst.

  1. ( [ f (x) ]² ) ' = 2 f (x) · f ' (x)   falls  f '  existiert, denn das Maschinenbild deutet  [ f (x) ]²  als Verkettung:

            x     f     f (x)   hoch 2   [ f (x) ]² 
    Ableitung:f '  2 · f  

  2. Zeige analog:
    f  differenzierbar in  [ a | b ]  (  [ f (x) ]n  ) '  =  n · [ f (x) ]n-1 · f ' (x)
    (Verkettung von  f  mit "hoch n"-Maschine)

  3. Überprüfe die Identität
     u · v = ¼ [ ( u + v )² - ( u - v )² ]
    und differenziere die Gleichung unter der Voraussetzunmg, dass  u  und  v  auf  I  differenzierbare Funktionen sind.
    Sie erhalten die
     Produktenregel       ( u · v) '  =  u ' v + u v '  

    Es sei daran erinnert, dass Kettenregel und Produktenregel bereits bekannt, aber nur für ganzrationale Funktionen bewiesen waren.

 

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