netSCHOOL Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript
 Differential- und Integralrechnung
 für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde		    zurück zum INHALT
 9.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 
9.3 Anwendungen der Integralrechnung

Es wurde zugelassen, dass Inhalte negativ sein können. Häufig interessiert man sich nur für den Betrag des Inhalts. Darauf sei sich nun hier beschränkt und verwende für (positive) Flächenmaße vornehmlich den Buchstaben  A , genauer
bedeutet   Ab
a		  das Flächenmaß über dem Intevall  [ a | b ].

Beispiele

  1. Fläche zwischen der Randkurve und x-Achse
    Bestimme das Maß der Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve der Funktion  f (x) = x³ + x² - 2 x .
    A  1
    -2    		  = |  0 ( x³ + x² - 2 x ) dx | + |  1 ( x³ + x² - 2 x ) dx |
    -2 0
           =  | [  1
    4    		 x4 + 1
    3    		 x3 - x2 ] 0

    -2

    		  |  +  | [  1
    4    		 x4 + 1
    3    		 x3 - x2 ] 1

    0

    		  | 
     =  |   - 4 + 3
    8    		 + 4    |  +  |   1
    4    		 + 1
    3    		 - 1    | 
     = 3
    8    		 +  5 
    12    		 =   3  1 
    12    		  
    Dagegen ist 1 ( x³ + x² - 2 x ) dx  =  2 1
    4    		  .
    -2
    Beachte, dass 1 ( x³ + x² - 2 x ) dx   negativ ist..
    0
  2. Fläche zwischen zwei Kurven
    Welches Maß hat die Fläche zwischen den Kurven zu  f (x) = x²  und  g (x) = -2 x4 + 3 ?
    Die Kurven schneiden sich bei  x = -1  und  x = +1 .
    Die gesuchte Fläche lässt sich offenbar als Differenz zweier Flächenmaße darstellen:
    A = A  1
    -1    		 (g) - A  1
    -1    		 (f)  .
    A =  1 ( -2 x4 + 3 ) dx - 1 ( x2 ) dx = [ - 2
    5    		  x5 + 3 x - 1
    3    		  x3 ] 1

    -1
    -1 -1
    A = - 2
    5    		  + 3 - 1
    3    		  - ( + 2
    5    		  - 3 + 1
    3    		  ) = 6 - 4
    5    		  - 2
    3    		  = 4  8 
    15

 
Allgemein gilt für die Fläche zwischen den Kurven der Funktionen  f  und  g  über dem Intervall  [ a | b ] 
  1       A = b [ f (x) - g (x) ] dx    ,
a
falls  f (x) g (x)  und  f  und  g  in  ] a | b [  keine gemeinsame Schnittstelle haben.

Warum spielt es keine Rolle, in welcher Höhe im Koordinaten-System die Fläche liegt ? 
 

Falls sich die Kurven über dem Intervall  [ a | b ]  schneiden, wechseln die Kurven in den Schnittstellen die Seiten, d.h.  f (x) - g (x)  das Vorzeichen. In nebenstehender Abbildung ist also
  2       A = |  r [f (x) - g (x)] dx | + |  s [f (x) - g (x)] dx | + |  b [f (x) - g (x)] dx |
a r s

 

  1. Volumen von Rotationskörpern
    Fig. 1         Fig. 2

    Die Kurve der Funktion  f  verlaufe zunächst oberhalb der x-Achse. Das Flächenstück zwischen der Kurve von  f  und der x-Achse rotiere um die x-Achse. Daraus entsteht ein rotationssymetrischer Körper. Welchen Inhalt hat er?

    V  sei die Funktion, welche jedem  x  aus  [ a | b ]  die Maßzahl des Inhalts des Rotationskörpers zuordnet, der durch Drehung der Fläche zwischen der Kurve von  f  und der x-Achse über dem Intervall  [ a | b ]  um die x-Achse entsteht. Der Existenzbeweis folgt im Abschnitt 9.4 .

    Es wrd nun gezeight, dass die Funktion  V  L-diffenrenzierbar ist, wenn die Randfunktion L-stetig ist. (vergleiche Fig. 2, oben rechts)
    Es ist 
      V (x0 + h) = V (x0) +    f (x0)² · h   +   R (h)   , 
       Inhalt einer
    zylindr. Scheibe
    der Dicke  h    		   Restvolumen  

    wobei     | R (h) |     ( f (x0) + L · h )² · h - ( f (x0) - L · h )² · h   = 4 · f (x0) · L · h²   gilt.
      Inhalt eines zylindrischen Ringes  

    Also folgt   V ' (x) = · f (x)²     in  [ a | b ] 
    und daraus
      1          V b
    a    		   =   · b f (x)² dx  
    a
    für das Volumen des Drehkörpers über  [ a | b ]  .


 
Aufgaben zu 9.3

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