netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
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Aufgaben zu
7. Monotoniesätze

7.1 Lokale Monotoniesätze
7.2 Globale Monotoniesätze

1. Zeige, dass die Umkehrung von Satz 2 falsch ist.
2. Beweise:
Wenn  f  bei  x0  steigt und  f ' (x0)  existiert, dann ist  f ' (x0) 0  .
3. Untersuche das mögliche Verhalten von  f  bei  x0 , wenn  f ' (x0) = 0  ist. Wähle als Beispiele x  x3 , x  - x3 , x  x4  und x  - x3 .
4. Zeige: Die Funktion  x | x |  ist bei  x = 0  nicht L-differenzierbar. Beachte Satz 1 .
5. An welchen Stellen steigt bzw. fällt die Funktion  f ? Skizziere auf Grund der Ergebnisse den Graphen von  f .
a)f (x) = 2 x² - 3 x + 4  b)f (x) = - 3 x² + 2 x - 5
c)f (x) = x³ - 3 x² - 13 x + 15  d)f (x) = 3 x - x³
6. Beweise den Satz 2 algebraisch aus der Ungleichungskette  D  .
 
7. Beweise mit Hilfe des Globalen Monotoniesatzes:
a)Wenn  f ' M  in  I  und  u, v I  und  u < v ,
dann  f (v) - f (u) m ( v - u ) .
(Anleitung zeige: ( M x - f (x) ) ' = M - f ' (x) 0 .)
b)Wenn  m f '  in  I  und  u, v I  und  u < v ,
dann  m ( v - u ) f (v) - f (u) .
(Anleitung zeige: ( f (x) - m x ) ' = f ' (x) - m 0 .
Diese Aufgabe enthält in beiden Teilen den Beweis des Schrankensatzes, (Satz 5 in 7.2 Globale Monotoniesätze).
8. Es sei  f ' g '  in  I  und  u, v I  und  u < v .
Dann ist  f (v) - f (u) g (v) - g (u) .
Beweise diesen Satz mit dem Globalen Monotoniesatz. Beachte ( g - f ) ' = g ' - f ' .
9. Zeichne f  :  x x + x² sin( 1/x )  und  0 0  in einer U (0) .
Bestätige:
a)f  steigt bei  0
b)f ' (0) = 1
c)f  ist in keinem Intervall um Null monoton steigend oder fallend.

 

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