AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung

Übungen zu
4. Ganzrationale Funktionen

4.1 Übungen zur Wiederholung

1.	Zeichne die quadratischen Funktionen
	a) c) e) g)	y = x² y = ( 3 - x )² y = ½ x² y = -2 ( x + 1 )²		b) d) f) h)	y = x² - 3 y = ( x - 2 )² + 1 y = - 3 x² y = 0,01 ( x - 0,2 )² + 0,3
2.	Zeichne in einer Umgebung um Null die Potenzfunktionen
	a) c)	y = x³ y = 0,1 x5		b) d)	y = x4 y = 0,1 x6
3.	Bestätige für alle x und n
	a)	( - x )2n = x2n		b)	( -x )2n+1 = -x2n+1

4.	Welche Symetrieeigenschaften für Potenzfunktionen folgen aus den Eigenschaften der Aufgabe 3 ? Formuliere Sätze.
5.	Eine Funktion f heißt streng monoton steigend über D, wenn für alle x1, x2 D aus x1 < x2 auch f (x1) < f (x2) folgt.
	a)	Definiere: "Die Funktion f fällt streng monoton über D".
	b)	Beweise: Die Funktionen y = xn ( n ) sind über + streng monoton steigend. (Beweis durch vollständige Induktion)
	c)	Beweise: Die Funktionen y = x2n-1 sind über streng monoton steigend. ( n 1 )
	d)	Beweise: Die Funktionen y = x2n ( n 1 ) sind über - streng monoton fallend.
6.	Zeichne die Funktionen y = x², y = x³, y = x4 in vergrößertem Maßstab in ein Koordinatensystem über dem Intervall [ -1 | +1 ]. Vergleiche das Verhalten der Funktionen.

 
Aufgaben zu
4. Ganzrationale Funktionen

4.2 Definition ganzrationaler Funktionen - Polynome
4.3 Berechnung von Funktionswerten nach dem Horner-Schema
4.4 Nullstellen von Polynomen
4.5 Symmetrische Funktionen
4.6 Beschränktheit von ganzrationalen Funktionen über Intervallen
4.7 Interpolation durch ganzrationale Funktionen

1.	Bestimme die Nullstellen von
	a) c) e) g) i)	f (x) = x² - 3 x - 2 f (x) = x³ + 2 x² - 3 x f (x) = ½ x³ + 4 x f (x) = x4 - 2 x² - 5 f (x) = x4 - 17 x² - 200	b) d) f) h) k)	f (x) = x² + p x + q f (x) = ( 2 x - 1 )² ( x + 3 ) ( 3 x - 4 ) f (x) = 1/5 x³ + 2 x² f (x) = 18 x4 - 74 x² + 8 f (x) = x4 + 10 x² + 16
2.	Wo schneiden sich die Funktionen  f  und  g ?
	a) b) c) d)	f (x) = - ½ x + 2 f (x) = x² + 2 x - 4 f (x) = x² - 9 f (x) = x³ - 2 x + 1		g (x) = 2 x - 4 g (x) = - x² + 3 x - 2 g (x) = - 3 x + 4 g (x) = x² + 10 x + 1
3.	Zeige, dass x0 Nullstelle von  f  ist und schreibe f (x) in der Form f (x) = ( x - x0 ) g (x)
	a)  b)  c)  d)  e)	f (x) = x³ - 2 x² - 3 x - 20 f (x) = x³ - 5 x + 12 f (x) = 4 x³ - 4 x² - 5 x - 1 f (x) = x³ + 3,2 x² - 11 x + 3,6 f (x) = x4 + 4 x³ - 4 x² + 4 x - 5		x0 = 4 x0 = -3 x0 = -½ x0 = 1,8 x0 = 1
4.	Bestimme alle Nullstellen der Funktionen aus Aufgabe 3
5.	Schreibe f (x) = f (x0) + ( x - x0 ) g (x)
	a)  b)  c)  d)  e)  f)	f (x) = x³ + 3 x² + 5 x - 10 f (x) = x4 + x² - 3 x + 4 f (x) = x³ - ½ f (x) = 5 x² - 6 x + 18 f (x) = 5 x - 4 f (x) = 6,3		x0 = 2,4 x0 = -1,6 x0 = 2,5 x0 = -3,2 x0 = 4,8 x0 = -5
6.	Zerlege f (x) so weit wie möglich in Faktoren
	a) c) e) g)	f (x) = x³ - 3 x² + 2 x f (x) = x4 - 1 f (x) = 2 x4 + 4 x³ - 14 x² - 16 x + 24 f (x) = x4 - 3 x³ - 3 x² + 11 x - 6	b) d) f) h)	f (x) = x³ - 1 f (x) = 3 x³ + 2 x² - 19 x + 6 f (x) = x4 - 3 x² - 4 f (x) = x4 - x³ - 3 x² - 5 x - 2
7.	Zeige: Wenn ein Polynom f (x) die Nullstelle x0 hat, dann gibt es ein Intervall um x0 , in dem keine weitere Nullstelle von f (x) liegt ( f (x) 0 ).
8.	Zeige: Wenn f (x) ein Polynom ist und f (x1) 0 ist, dann gibt es ein Intervall um x1 , in dem keine Nullstelle von f (x) liegt.
9.	Definition:
	Die Zahl x1 heißt Nullstelle der Vielfachheit K des Polynoms f (x) , wenn im für ein Polynom g (x) mit g (x1)  0 gilt:            f (x) = ( x - x1 )K · g (x)
	Zeige: Wenn die Vielfachheit der Nullstelle x1 des Polynoms f (x) ungerade (gerade) ist, dann wechselt die Funktion f bei x1 (nicht) das Vorzeichen.
10.	Zeige: Hat ein Polynom Koeffizienten und eine Nullstelle x1, die ganzzahlig sind, dann ist x1 ein Teiler des Absolutgliedes a0 .
11.	Beweise: Es gibt genau eine ganzrationale Funktion  f  höchstens n-ten Grades, deren Kurve durch die Punkte P0 ( x0 | y0 ), P1 ( x1 | y1 ), P2 ( x2 | y2 ), . . . , Pn ( xn | yn ) geht.
12.	Zeige: Das Polynom f (x) habe die Nullstelle x0 . Dann ist ( x - x0 ) Teiler von [ f (x) - f (x0) ] .
13.	Interpoliere durch ein möglichst einfaches Polynom:
	a)  b)  c)	P0 ( -1 | -2 ), P1 ( 1 | 5 ), P2 ( 2 | 3 ) P0 ( -3 | 5 ), P1 ( -2 | -1 ), P2 ( 0 | 4 ), P3 ( 2 | 12 ) P0 ( 0 | 0 ), P1 ( 1 | 1 ), P2 ( 2 | 5 ), P3 ( 3 | 4 ), P4 ( 4 | 1 )
14.	An einem Tag werden folgende Temperaturen gemessen: 7 h   18 °C; 13 h   31 °C; 18 h   25 °C . Man berechne durch quadratische Interpolation die Temperatur um 14 h und die Höchsttemperatur und wann diese erreicht wird.
15.	Beweise Satz 2

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