Oberstufe: Differential- und Integralrechnung

Oberstufenskript Differential- und Integralrechnung für Grund- und Leistungskurse von Jürgen Rohde

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 4.3 Berechnung von Funktionswerten nach dem Horner-Schema

4.4 Nullstellen von Polynomen

Definition: x0 heißt Nullstelle des Polynoms f (x), wenn f (x0) = 0 .

Aus 4.3 folgt:

	Für jedes Polynom f (x), welches nicht das Nullpolynom ist, und für alle x0 gibt es ein Polynom g (x), so dass
(1)	f (x) = f (x0) + ( x - x0 ) · g (x)
	ist. Der Grad von  g  ist um  1  kleiner als der Grad von  f .

Damit ergibt sich folgender Satz:

Satz 1	Wenn x0 Nullstelle des Polynoms f (x) ist, dann ist f (x) durch ( x - x0 ) teilbar (ohne Rest).
Denn wegen (1) ist f (x) = ( x - x0 ) · g (x) .
	x - x0 heißt Linearfaktor zu x0 .

Satz 1 in Kurzfassung: Wenn f (x₀) = 0 , dann ist der Linearfaktor ( x - x₀ ) Teiler von f (x).

Aus Satz 1 folgt unmittelbar ( vgl. Aufgabe 15 )

Satz 2	Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens  n  Nullstellen.

Hieraus ergibt sich die
Folgerung: Wenn ein Polynom unendlich viele Nullstellen hat, dann ist es das Nullpolynom.

Beispiel: Die Nullstellen von f (x) = 2 x⁴ + 4 x³ - 14 x² - 16 x + 24
Man sieht leicht, dass  1  Nullstelle ist:

	2	4	-14	-16	24
		2	6	-8	-24
x = 1 |	2	6	-8	-24	0	f (x)	= ( x - 1 ) · ( 2 x³ + 6 x² - 8 x - 24 )
		-4	-4	24
x = -2 |	2	2	-12	0			= ( x - 1 ) · ( x + 2 ) · ( 2 x² + 2 x - 12 )
		4	12
x = 2 |	2	6	0				= ( x - 1 ) · ( x + 2 ) · ( x - 2 ) · ( 2 x + 6 )
		-6
x = -3 |	2	0					= 2 · ( x - 1 ) · ( x + 2 ) · ( x - 2 ) · ( x + 3 )

Wir haben damit das Polynom in Lienarfaktoren zerlegt. Es hat die Nullstellen 1; ( -2 ); 2 und ( -3 ).
Nicht alle Polynome lassen sich in Linearfaktoren zerlegen, z.B. f(x) = x² + 4 .

Auf die angegebene Weise lassen sich höchstens ganzzahlige Nullstellen finden. In der Regel ist man auf Näherungslösungen angewiesen, vgl. z.B. die Kurve des Beispiels in 4.3 .
Wirksame Näherungsmethoden liefert die Differenzialrechnung.

Das Polynom f (x) = xⁿ - x₀ⁿ hat die Nullstelle x₀. Das Horner-Schema ergibt:

	1	0	0	0	. . .	0	0	- x0n
		x0	x0²	x0³	. . .	x0n-2	x0n-1	x0n
x = x0 |	1	x0	x0²	x0³	. . .	x0n-2	x0n-1	0

Also ist    xⁿ - x₀ⁿ = ( x - x₀ ) · ( x^n-1 + x₀ x^n-2 + x₀² x^n-3 + . . . + x₀^n-1 ) .

( Vergleiche auch Aufgabe 17 zu 3. vollständige Induktion )

 
4.5 Symmetrische Funktionen

Symmetrische Funktionen haben besonders einfache Gestalt:

Satz 3	Wenn das Polynom f (x) = a0 + a1 x + a2 x² + . . . + a2k x2k + a2k+1 x2k+1 + . . . + an xn    ( 2 2k + 1 n ) achsensymmetrisch ist, dann sind alle  ai = 0  für ungerade  i  .

Denn nach Voraussetzung ist in    f (-x) = f (x), also in

a₀ + a₁ (-x) + a₂ (-x)² + . . . + a_2k (-x)^2k + a_2k+1 (-x)^2k+1 + . . . + a_n (-x)ⁿ
         = a₀ + a₁ x + a₂ x² + . . . + a_2k x^2k + a_2k+1 x^2k+1 + . . . + a_n xⁿ

Aus dieser Gleichung fallen alle Terme mit geradem Index heraus. Man erhält schließlich
(2)     2 a₁ x + 2 a₃ x³ + . . . + 2 a_2k+1 x^2k+1 = 0     ( 2 k + 1 = n  oder  2 k + 1 = n - 1 )     für alle  x  .
Also ist jede reelle Zahl Nullstelle des Polynoms  f (x)  . Also ist nach Folgerung aus dem Satz  f (x)  das Nullpolynom, also sind  a₁ = a₃ = a₅ = . . . = a_2k+1 = 0  .

weiter zu    4.6 Beschränktheit von ganzrationalen Funktionen über Intervallen  

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