netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
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Aufgaben zu
11. Mittelwertsätze

  1. Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung .
    Zum Beweis zeige, dass  f (x) - f (a) +  f (b) - f (a)
        b - a
     ( x - a )  =  h (x)
    die Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt.

  2. Beweise den verallgemeinerten Mittelwertsatz :
     f  und  g  seien in  [ a | b ]  L-differenzierbar und  a b .
    g ' (x)  sei in  [ a | b ]  ungleich  0 .
    Dann gibt es ein  z  ] a | b [  mit     f (b) - f (a)
    g (b) - g (a)
      =   f ' (z)
    g' (z)
    Anleitung zum Beweis: Zeige, dass die Funktion  h  mit
          h (x) = ( f (a) - f (b) ) · g (x) - ( g (a) - g (b) ) · f (x)
    die Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt.

  3. Zeige, dass aus dem Mittelwertsatz der Schrankensatz folgt. Inwiefern geht der Mittelwertsatz über den letzteren hinaus?

  4. Zeige: Wenn ein Fahrzeug die Durchschnittsgeschwindigkeit  30 km/h  hat, dann ist ist auch die Momentangeschwindigkeit mindestens einmal genau  30 km/h .

  5. Es sei  f (x) = 3 x³ - 4 x² + 6 x - 3  über  [ -2 | 4 ] . Welche Zahlen aus  [ -2 | 4 ]  erfüllen die Forderung des Mittelwertsatzes?

  6. Es sei  f (x) =   über  [ -4 | 4 ] . Warum funktioniert hier der Satz von Rolle nicht?

  7. Zeige: Für jede quadratische Funktion  y = a x² + b x + c  ist der Wert  z  des Mittelwertsatzes der Mittelpunkt des Intervalls.

  8. Nicht immer gibt es zu einer Tangente eine parallele Sehne. Besipiele?

  9. Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung :
    Es sei  f  in  [ a | b ]  L-stetig.
    Dann gibt es in  [ a | b ]  eine Zahl  z  mit    f (x) dx = ( b - a ) · f (z)  .
    ( Zeichnung ! )

 

weitere Aufgaben zu    12. Verkettung von Funktionen - Ableitungsregeln  


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