netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
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Aufgaben zu
12. Verkettung von Funktionen - Ableitungsregeln

  1. Verkette jeweils  f  mit  g  und  g  mit  f :
    a.f (x) = a x² + b x + c    g (x) = m x + b
    b.f (x) = x³    g (x) = x - 3
    c.f (x) = 1/x    g (x) = ( x - 2 )4
    d.f (x) =    g (x) = x³ + 2 x² + 3 x + 2
    e.f (x) =    g (x) = -( x + 3 )² - 2

  2. Schreibe folgende Funktionen als Verkettung einfacher!

  3. Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit man zwei (drei) Funktionen miteinander verketten kann?
  4. Zeige, dass immer  e (  f g )  =   ( e  f ) g   ist. Welches Gesetz ist es?
  5. Erweitere das Darstellungsverfahren zur graphischen Verkettung auf  3 Funktionen.
  6. Formuliere einen Satz über die Ableitung der Verkettung von drei Funktionen und verallgemeinere auf  n  Funktionen.
  7. Entwickle eine Regel zur Ableitung eines Produktes von  3 Funktionen und verallgemeinere.
  8. u, w, v   seien differenzierbare Funktionen und  w (x) 0   und   v (x) 0 .
    Bilde (   u · v   ) '   und   (   u   ) ' 
    w v · w
  9. Zeigen Sie
                      u.a. mit Hilfe der Beispiele aus 12. :
    Potenzregel für rationale Exponenten
    Beachte:
  10. Zeige, dass L-Stetigkeit mit Verkettung von Funktionen verträglich ist. Deute zur Unterstützung die folgende Ungleichnungskette:
    | f ( g (x) ) - f ( g (x0) ) |     Lf · | g (x) - g (x0) |     Lf · Lg · | x - x0 |   .
  11. Leiten Sie - wenn möglich - zweimal ab und geben Sie den Bereich an, über dem die Ableitungen existieren.

  12. Bestimme  ( f f ) '  und  ( f f f ) '  unter der Voraussetzung der Ableitbarkeit.
  13. Bestimmen Sie für  f (x) = x²  die Funktionen  ( f f ) ' ;   f ' f  ;   f f '  ;   f ' f '  .
  14. Bestimme unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit die Ableitung von

  15. u, v  seien mindestens 4-mal differenzierbar. Berechne
    a.   ( u · v ) ''       b.   ( u · v ) '''       c.   ( u · v ) (4)     d.i. 4. Ableitung
  16. Zeige:  f (x) = x³ + 3 x  ist umkehrbar über . Kann man die Gleichung der Umkehrfunktion explizit angeben? Berechne
    ' (4) ;   ' (0) ;   ' (-4) ;   ' (36) ;   ' (-14) .
  17. Berechne

  18. Untersuche die Funktionen
    fa (x) =   ax       für   a > 0  .
    a x² + 1
    Wie ändern sich die y-Werte für wachsende  | x | ? Zeichne die Kurve für  a = 1  und  a = 2,25 . Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte, auf welcher die Wendepunkte?
  19. Ein symmetrisch zur y-Achse gelegenes Rechteck hat zwei Eckpunkte auf der x-Achse,
    die beiden anderen liegen auf der Kurve  y = 4 / (x² + 1 ) . Welches dieser Rechecke hat extremen Inhalt?
  20. In einem Kegel soll ein Zylinder mit maximaler Oberfläche einbeschrieben werden.
 

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