AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung

Aufgaben zu
12. Verkettung von Funktionen - Ableitungsregeln

1. Verkette jeweils  f  mit  g  und  g  mit  f :

   a.	f (x) = a x² + b x + c		g (x) = m x + b
   b.	f (x) = x³		g (x) = x - 3
   c.	f (x) = 1/x		g (x) = ( x - 2 )4
   d.	f (x) =		g (x) = x³ + 2 x² + 3 x + 2
   e.	f (x) =		g (x) = -( x + 3 )² - 2

   
   
2. Schreibe folgende Funktionen als Verkettung einfacher!
   
   
3. Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit man zwei (drei) Funktionen miteinander verketten kann?
4. Zeige, dass immer  e (  f g )  =   ( e  f ) g   ist. Welches Gesetz ist es?
5. Erweitere das Darstellungsverfahren zur graphischen Verkettung auf  3 Funktionen.
6. Formuliere einen Satz über die Ableitung der Verkettung von drei Funktionen und verallgemeinere auf  n  Funktionen.
7. Entwickle eine Regel zur Ableitung eines Produktes von  3 Funktionen und verallgemeinere.
8. u, w, v   seien differenzierbare Funktionen und  w (x) 0   und   v (x) 0 .
   

   Bilde (	u · v	) '   und   (	u	) '
   	w		v · w

9. Zeigen Sie

   u.a. mit Hilfe der Beispiele aus 12. :
   Potenzregel für rationale Exponenten
   Beachte:

10. Zeige, dass L-Stetigkeit mit Verkettung von Funktionen verträglich ist. Deute zur Unterstützung die folgende Ungleichnungskette:
    

    | f ( g (x) ) - f ( g (x0) ) |     Lf · | g (x) - g (x0) |     Lf · Lg · | x - x0 |   .

11. Leiten Sie - wenn möglich - zweimal ab und geben Sie den Bereich an, über dem die Ableitungen existieren.
    
    
12. Bestimme  ( f f ) '  und  ( f f f ) '  unter der Voraussetzung der Ableitbarkeit.
13. Bestimmen Sie für  f (x) = x²  die Funktionen  ( f f ) ' ;   f ' f  ;   f f '  ;   f ' f '  .
14. Bestimme unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit die Ableitung von
    
    
15. u, v  seien mindestens 4-mal differenzierbar. Berechne
    a.   ( u · v ) ''       b.   ( u · v ) '''       c.   ( u · v ) ^{(4)     d.i. 4. Ableitung}
16. Zeige:  f (x) = x³ + 3 x  ist umkehrbar über . Kann man die Gleichung der Umkehrfunktion explizit angeben? Berechne
    ' (4) ;   ' (0) ;   ' (-4) ;   ' (36) ;   ' (-14) .
17. Berechne
    
    
18. Untersuche die Funktionen

    fa (x) =	ax	für   a > 0  .
    	a x² + 1

    Wie ändern sich die y-Werte für wachsende  | x | ? Zeichne die Kurve für  a = 1  und  a = 2,25 . Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte, auf welcher die Wendepunkte?
19. Ein symmetrisch zur y-Achse gelegenes Rechteck hat zwei Eckpunkte auf der x-Achse,
    die beiden anderen liegen auf der Kurve  y = 4 / (x² + 1 ) . Welches dieser Rechecke hat extremen Inhalt?
20. In einem Kegel soll ein Zylinder mit maximaler Oberfläche einbeschrieben werden.

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