netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
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Aufgaben zu
10. Eigenschaften L-stetiger Funktionen

  1. Zeige: Wenn  f   L-stetig in  [ a | b ]  und  z   [ a | b ]  und  f (z)  > 0  ist,
              dann ist  f (x)  > 0  in  ] z -   f (z)
      L    		  | z +   f (z)
      L    		  [         [ a | b ]  .

  2. Geben Sie unter den Bedingungen der 1. Aufgabe eine Umgebung an, worüber  f (x) > ½ f (z)  .

  3. Zeige:  x  1/x   ist L-stetig in  [ 1 | 10 ] , in  [ 0,1 | 1 ]  .

  4. Zeige:  x  1/x   ist L-stetig in  [ a | b ] , wenn  0  nicht in  [ a | b ]  .

  5. Zeige:  x     ist L-stetig  [ 0,1 | 20 ]  .

  6. Zeige:  x     ist bei  x = 0  nicht  L-stetig, auch nicht von rechts.

  7. Zeige:  x  1/x   ist bei  x = 0  nicht L-stetig  .

  8. Zeige durch vollständige Induktion: Wenn  f  über  I   L-stetig ist, dann auch  f n  .

  9. Beweise:
           Satz 5   Zwischenwertsatz
    Die Funktion  f  sei über  [ a | b ]   L-stetig und  Y  eine Zahl zwischen  f (a)  und  f (b) .
    Dann gibt es eine Zahl  Z  mit  f (Z) = Y .

    Hinweis zum Beweis: Zeige, dass die Funktion  f (x) - Y  die Voraussetzungen des Nullstellensatzes erfüllt.

  10. Unter welchen Bedingungen ist mit der Funktion  f  auch die Funktion  1/f   L-stetig. Führe den entsprechenden Beweis.

  11. Zeige: Ganzrationale Funktionen ungeraden Grades haben mindestens eine Nullstelle.

  12. Beweise den Nullstellensatz auch unter Benutzung von Aufgabe 4. aus 9.1 . Zeige im Einzelnen:

    Aufgabe 12           Die Folge mit
    a1 = a 
    a2 = a1 -  f (a1)
    L
        ·
        ·
        ·
    an = an-1 -  f (an-1)
    L
        ·
        ·
        ·
    ist monoton steigend und beschränkt. Für ihren Grenzwert gilt  f (z) = 0  .

    1. Beweise z.B. mit Hilfe von 12.:
      Wenn  f  über  [ a | b ]   L-stetig und  f (x) > 0  in  [ a | b ] , dann gibt es eine positive Zahl  c , so dass sogar  f (x) c ( > 0 ) in  [ a | b ]  ist.

    2. Beweisen Sie diesen Satz auch indirekt, indem Sie zeigen:
      Wenn es keine positive untere Schranke von  f  über  [ a | b ]  gibt, dann hat  f  in  [ a | b ]  eine Nullstelle.

  14.  f  und  g  seien über  [ a | b ]  L-stetig und  f (a)  >  g (a)  und  f (b)  <  g (b) . Dann haben  f  und  g  mindestens einen Schnittpunkt in  [ a | b ] .
 

weitere Aufgaben zu    11. Mittelwertsätze  

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