netSCHOOL AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung
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Aufgaben zu
6. Anwendungen I

1.   Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve der Funktion  f  an der Stelle  x1 .
 a)   f (x) = x³ - 2 x + 1  x1 = 2 ;   x1 = - 1
 b)   f (x) = - 3 x4 + 5 x² - 16  x1 = 0,5
 c)   f (x) = 3 - x²  x1 = 3 ;   x1 = - 3
 d)   f (x) = 2 x² + x³  x1 = 4
 
2.   Wo schneidet die Tangente an die Kurve  y = x³  an der Stelle  4  die Kurve (neben x = 4 ) ein zweites Mal?
 
3.   Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, die man von
 a)  ( - 2 | 3 )b)  ( 2 | 3 )
  aus an die Parabel  y = x²  ziehen kann?

4.   Gegeben sei die Normalparabel  y = x²  zu Aufgabe 4
a) Zeige:   A = ( 0 | - y1 )
b) BP senkrecht zu Parabel in  P  .
Zeige:   B = ( 0 | y1 + ½ )
c) Warum liegen die Punkte  A B P  auf einem Thaleskreis ?
Bestätige:   Mittelpunkt  M  des Thaleskreises: M ( 0 | ¼ ) .
Also hängt  M  nicht von  x1  ab.
d) Beweise:   Die beiden eingezeichneten Winkel (Alpha, Betha) sind gleich.
e) Man deute die Parabel als Achsenschnitt durch einen Parabolspiegel und zeige:   Alle Lichtstrahlen, die parallel zur (optischen) Achse einfallen, werden durch  M  reflektiert. M = Brennpunkt. Anwendung: Parabolspiegel, Radarantenne, Satelitenschüssel.
f) Zeige:   Für alle Punkte der Parabel gilt: Ihr Abstand von  M  ist gleich ihrem Abstand von der Geraden  y = ¼  . Diese Gerade heißt Leitlinie der Parabel.

5.   Übertrage die Ergebnisse von  4.  auf die Parabeln  y = a · x² .
 
6.   Zeige, dass  y = | x |³  nicht die Brennpunkteigenschaft  4e)  hat.

7.  Berechne näherungsweise:  

8.  Begründe die Näherungsformeln für kleine |x|:  

9.  Berechne näherungsweise die Nullstellen der folgenden Funktionen. Die Ungenauigkeit sei kleiner als 10-3. Benutze Taschenrechner und Hornerschema.
 a)  f (x) = 2 x² - 3 x + 1 + x³ b)  f (x) = x³ - 3 x² + 6 x - 9
 c)  f (x) = x³ - 7 d)  f (x) = x5 - 3
 e)  f (x) = 2 x5 - 4 x4 + 5 x³ - 2 x² + x - 5 f)  f (x) = 4 x4 - 3 x² - 8 x - 2
 g)  f (x) = x4 + 3 x³ + x² - 2 x - 1 h)  f (x) = 4 x³ + 12 x² + 8 x - 1
 i)  f (x) = x5 + 17,12 k)  f (x) = x³ + x - 1

10.  Ein senkrecht nach oben geworfenenr Körper bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz   s (t) = 4 t - 5 t² . Dabei steht  t  für die in Sekunden gemessene Zeit.
 a)  Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit
zur Zeit:   t1 = 0   ;   t2 = 0,1   ;   t3 = 0,4   ;   t4 = 0,8   ?
 b)  Wann kehrt der Körper um?
 c)  Wann kehrt der Körper zurück?
 d)  Wie heißt das Geschwindigkeits-Zeit Gesetz?

11.  Es sei  s (t) = 2 t³ - t² + 4 t - 5 . Bestimme  v (t) . Wann ist  v (t) = 0 ?

12.  Berechne die Stellen mit horizontaler Tangente bei
  a)  y = 3/5 x5 - 13 x³ + 96 x - 17     b)  y = x5 - 65/3 x³ + 180 x     c)  y = ( 2 x - 1 )² · ( 2 x + 1 )³

13.  Zeige:   Die Gerade  x + 4 y - 5 = 0  ist Normale zu  y = x² + 2 x - 2  .

14.  Bestimme  a  so, dass die Kurve  y = a x³  die Gerade  y = 6 x + 4  berührt.

 

weitere Aufgaben zu    7. Monotoniesätze  


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