AUFGABEN zu Differential-/Integralrechnung

Aufgaben zu
16. Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen in Beispielen

1. Diskutiere und zeichne die Kurven mit den Gleichungen

   a.   y =	2 x + 1		b.   y =	3 x² + 2 x - 16		c.   y =	9 x - 27
   	( x + 3 )²			x² - 4 x - 3			x²
   d.   y =	x² - 2 x + 2		e.   y =	x		f.   y =	x² - 9
   	x - 2			x + 1			x² + 3
   g.   y =	x² + 4		h.   y =	x³		i.   y =	x
   	2 x + 8			x² + 12			x² - 9

2. Versuchen Sie, unter Benutzung der Begriffe "Linearfaktor" und "Vielfachheit einer Nullstelle" allgemeine Bedingungen für "Lücke mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel" und für "Polstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel" zu formulieren und zu begründen.

3. Die Parabeln  y = ( 1/a ) x²  und  y = 1 - a x²  umschließen eine Fläche. Für welches  a  ist diese maximal?

4. Diskutiere und zeichne die Kurve  y = 12/( x² + 6 ) . Der Fläche zwischen dieser Kurve und der x-Achse soll ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Inhalt einbeschrieben werden.

5. Welcher Kugelabschnitt hat bei gegebenem Volumen die kleinste Kappe?

6. Wie hoch ist ein Kegel mit minimalem Volumen, welcher einer Halbkugel mit dem Radius  r  umbeschrieben ist?
   Wie ändert sich die Lösung, wenn der Kegel
   a.   kleinste Oberfläche,           b.   kleinste Mantelfläche hat?

7. Löse die Probleme der Aufgabe 6. , wenn der Kegel einer Kugel umbeschrieben ist?

8. Eine zylindrische Dose habe  1 Liter Inhalt. Welche Form muss sie haben
   a.   mit Deckel,           b. offen,
   wenn zur Herstellung möglichst wenig Blech gebraucht wird?

9. In welchem Punkt der Ellipse  b² x² + a² y² = a² b²  hat die Normale (Senkrechte zur Ellipse) maximalen Abstand vom Ursprung? Wie groß ist er?

10. Bestimme

    			b		3 x²	dx   .      (Uneigentliches Integral)
    			1

11. Zeichne nach Diskussion die Kurve zu

    y =	x² + 2 x
    	( x - 1 )²

    Welche Ursprungsgeraden schneiden, welche berühren dei Kurve?

12. Bestimme  a  und  b  so, dass die Kurve zu

    y =	a x²	durch  ( | 3 )  geht
    	( x² + b )²

    und in diesem Punkt eine waagrechte Tangente hat. Diskussion und Zeichnung.

13. Welche Kurve  y = a/( x² + b )  hat in  ( 2 | 3 )  einen Wendepunkt?

14. Welche Parabel  y = a · x²  schneidet die Kurve zu  y = 1/x  im ersten Quadranten rechtwinklig? Wo liegt der Schnittpunkt?

15. Bestimme  a ,  b ,  c ,  d  so, dass die Kurve zu

    y =	a x² + b x + c	bei  ( -3 )  ein Extremum
    	x + d

    und die Geraden  x = 3  und  y = x + 12  als Asymptoten hat.

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